Preview

Известия Юго-Западного государственного университета

Расширенный поиск

К расчету инвариантных многообразий кусочно-гладких отображений

https://doi.org/10.21869/2223-1560-2020-24-3-166-182

Полный текст:

Аннотация

Целью исследования является разработка алгоритма расчета устойчивых инвариантных многообразий седловых периодических орбит кусочно-гладких отображений.
Метод базируется на итерировании фундаментальной области вдоль устойчивого подпространства собственных векторов матрицы Якоби, вычисленной в седловой периодической неподвижной точке.
Результаты. Разработан метод расчета устойчивых инвариантных многообразий седловых периодических орбит кусочно-гладких отображений. Основной результат сформулирован в виде утверждения. Основу метода составляет оригинальный подход нахождения обратной функции, идея которого состоит в сведении задачи к нелинейному уравнению первого порядка.
Заключение. Описан численный метод расчета устойчивых инвариантных многообразий кусочно-гладких отображений, моделирующих импульсные системы автоматического управления. Метод базируется на итерировании фундаментальной области вдоль устойчивого подпространства собственных векторов матрицы Якоби, вычисленной в седловой периодической неподвижной точке. Основу метода составляет оригинальный подход нахождения обратной функции, который состоит в сведении задачи к решению нелинейного уравнения первого порядка. Такой подход исключает необходимость решения систем нелинейных уравнений для определения обратной функции и преодоления сопутствующих при этом вычислительных проблем. Приведены примеры исследования глобальной динамики кусочно-гладких отображений с мультистабильным поведением.

Об авторах

Ж. Т. Жусубалиев
Юго-Западный государственный университет
Россия

Жусубалиев Жаныбай Турсунбаевич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры  вычислительной техники

ул. 50 лет Октября 94, г. Курск 305040



В. Г. Рубанов
Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова
Россия

Рубанов Василий Григорьевич, доктор технических наук, профессор, завкафедрой технической кибернетики

ул. Костюкова 46, г. Белгород 308012



Ю. А. Гольцов
Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова
Россия

Гольцов Юрий Александрович, старший преподаватель кафедры технической кибернетики

ул. Костюкова 46, г. Белгород 308012



Список литературы

1. Feudel U. Complex dynamics in multistable systems // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2008; 18(6): 1607–1626. https://doi.org/10.1142/S0218127408021233

2. Feudel U., Pisarchik A., Showalter K. Multistability and tipping: From mathematics and physics to climate and brain – Minireview and preface to the focus issue // Chaos. 2018. №28(3). 033501 р. https://doi.org/10.1063/1.5027718

3. Pisarchik A., Feudel, U. Control of multistability // Phys. Rep. 2014. №540(4). Р. 167–218. https://doi.org/10.1016/j.physrep.2014.02.007

4. Hens C., Dana S., Feudel U. Extreme multistability: Attractor manipulation and robustness // Chaos. 2015. № 25(10). Р. 053112. https://doi.org/10.1063/1.4921351

5. Prengel F., Wacker A., Schёoll E. Simple model for multistability and domain formation in semiconductor superlattices // Phys. Rev. 1994. № 50. Р. 1705–1712. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.50.1705

6. Liu Y., Chavez J. P. Controlling coexisting attractors of an impacting system via linear augmentation // Physica D. 2017. № 348. Р. 1–11. https://doi.org/10.1016/j.physd.2017.02.018

7. Marmillot P., Kaufman M., Hervagault J-F. Multiple steady states and dissipative structures in a circular and linear array of three cells: Numerical and experimental approaches // J. Chem. Phys. 1991. № 95(2). Р. 1206–1214. https://doi.org/10.1063/1.461151

8. Kuznetsov Y. Elements of Applied Bifurcation Theory, 3rd edition. Springer-Verlag, 2004. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3978-7

9. Chaotic Dynamics in Two-Dimensional Noninvertible Maps / C. Mira, L. Gardini, A. Barugola, J.C. Cathala // World Scientific Publishing, Singapore. 1996. 632 p. https://doi.org/10.1142/2252

10. On some properties of invariant sets of two-dimensional noninvertible maps / C. E. Frouzakis, L. Gardini, I. G. Kevrekidis, G. Millerioux, C. Mira // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1997. № 7(06). Р. 1167–1194. https://doi.org/10.1142/S0218127497000613

11. Parker T. S., Chua L. O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. Springer-Verlag, New York, 1989. http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-3486-9

12. Nusse H. E., Yorke J. A. A procedure for finding numerical trajectories in chaotic saddles // Physica D. 1989. № 36(1-2). Р. 137–156. https://doi.org/10.1016/0167-2789(89)90253-4

13. You Z., Kostelich E. J., Yorke J. A. Calculating stable and unstable manifolds // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1991. № 01(03). Р. 605–623. https://doi.org/10.1142/S0218127491000440

14. England J.P., Krauskopf B., Osinga H.M. Computing one-dimensional stable manifolds and stable sets of planar maps without the inverse // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 2004. №3(2). Р. 161–190. https://doi.org/10.1137/030600131

15. A survey of methods for computing (un)stable manifolds of vector fields / B. Krauskopf, H.M. Osinga, E.J. Doedel, M.E. Henderson, J. Guckenheimer, A. Vladimirsky, M. Dellnitz, O. Junge // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2005. № 15(03). Р. 763–791. https://doi.org/10.1142/S0218127405012533

16. Fundinger D. Toward the calculation of higher-dimensional stable manifolds and stable sets for noninvertible and piecewise-smooth maps // J. Nonlinear Sci. 2008. № 18. Р. 391–413. https://doi.org/10.1007/s00332-007-9016-4

17. Li H., Fan Y., Zhang J. A new algorithm for computing one-dimensional stable and unstable manifolds of maps // Int. J. Bifurcation and Chaos. Vol. 2012. № 22(01). Р. 1250018. https://doi.org/10.1142/S0218127412500186

18. Invariant manifolds and global bifurcations / J. Guckenheimer, B. Krauskopf, H. M. Osinga, B. B. Sandstede // Chaos. 2015. № 25(9). Р. 097604. https://doi.org/10.1063/1.4915528

19. Yue X-L., Xu Y, Xu W., Sun J-Q. Global Invariant manifolds of dynamical systems with the compatible cell mapping method // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2019. № 29(8). Р. 1950105. https://doi.org/10.1142/S0218127419501050

20. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Equilibrium-torus bifurcation in nonsmooth systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2008. № 237(7). Р. 930-936. https://doi.org/10.1016/j.physd.2007.11.019

21. Simpson D.J.W. The structure of mode-locking regions of piecewise-linear continuous maps: I. Nearby mode-locking regions and shrinking points // Nonlinearity. 2016. № 30(1). Р. 382–444. https://doi.org/10.1088/1361-6544/aa4f49

22. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. World Scientific, Singapore, 2003.

23. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Direct transition from a stable equilibrium to quasiperiodicity in non-smooth systems // Physics Letters A. 2008. № 372(13). Р. 2237–2246. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2007.08.077

24. Baushev V. S., Zhusubaliyev Zh. T. Indeterminable states of a voltage regulator with pulse-width control // Elect. Techn. 1992. № 3. Р. 85-98.

25. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., De S., Banerjee S. Transitions from phaselocked dynamics to chaos in a piecewise-linear map // Physical Review E. 2008. № 77. Р. 026206. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.77.026206

26. De S., Dutta P.S., Banerjee S. Torus destruction in a nonsmooth noninvertible map // Physics Letters A. 2012. № 376. Р. 400-406. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2011.11.017

27. Аvrutin V., Zhusubaliyev Zh. T. Nested closed invariant curves in piecewise smooth maps // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2019. № 29(7). Р. 1930017. https://doi.org/10.1142/S0218127419300179


Для цитирования:


Жусубалиев Ж.Т., Рубанов В.Г., Гольцов Ю.А. К расчету инвариантных многообразий кусочно-гладких отображений. Известия Юго-Западного государственного университета. 2020;24(3):166-182. https://doi.org/10.21869/2223-1560-2020-24-3-166-182

For citation:


Zhusubaliyev Z.T., Rubanov V.G., Gol’tsov Yu.A. Calculation of Invariant Manifolds of Piecewise-Smooth Maps. Proceedings of the Southwest State University. 2020;24(3):166-182. (In Russ.) https://doi.org/10.21869/2223-1560-2020-24-3-166-182

Просмотров: 100


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2223-1560 (Print)
ISSN 2686-6757 (Online)