К расчету инвариантных многообразий кусочно-гладких отображений

Целью исследования является разработка алгоритма расчета устойчивых инвариантных многообразий седловых периодических орбит кусочно-гладких отображений.
Метод базируется на итерировании фундаментальной области вдоль устойчивого подпространства собственных векторов матрицы Якоби, вычисленной в седловой периодической неподвижной точке.
Результаты. Разработан метод расчета устойчивых инвариантных многообразий седловых периодических орбит кусочно-гладких отображений. Основной результат сформулирован в виде утверждения. Основу метода составляет оригинальный подход нахождения обратной функции, идея которого состоит в сведении задачи к нелинейному уравнению первого порядка.
Заключение. Описан численный метод расчета устойчивых инвариантных многообразий кусочно-гладких отображений, моделирующих импульсные системы автоматического управления. Метод базируется на итерировании фундаментальной области вдоль устойчивого подпространства собственных векторов матрицы Якоби, вычисленной в седловой периодической неподвижной точке. Основу метода составляет оригинальный подход нахождения обратной функции, который состоит в сведении задачи к решению нелинейного уравнения первого порядка. Такой подход исключает необходимость решения систем нелинейных уравнений для определения обратной функции и преодоления сопутствующих при этом вычислительных проблем. Приведены примеры исследования глобальной динамики кусочно-гладких отображений с мультистабильным поведением.

1. Feudel U. Complex dynamics in multistable systems // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2008; 18(6): 1607–1626. https://doi.org/10.1142/S0218127408021233

2. Feudel U., Pisarchik A., Showalter K. Multistability and tipping: From mathematics and physics to climate and brain – Minireview and preface to the focus issue // Chaos. 2018. №28(3). 033501 р. https://doi.org/10.1063/1.5027718

3. Pisarchik A., Feudel, U. Control of multistability // Phys. Rep. 2014. №540(4). Р. 167–218. https://doi.org/10.1016/j.physrep.2014.02.007

4. Hens C., Dana S., Feudel U. Extreme multistability: Attractor manipulation and robustness // Chaos. 2015. № 25(10). Р. 053112. https://doi.org/10.1063/1.4921351

5. Prengel F., Wacker A., Schёoll E. Simple model for multistability and domain formation in semiconductor superlattices // Phys. Rev. 1994. № 50. Р. 1705–1712. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.50.1705

6. Liu Y., Chavez J. P. Controlling coexisting attractors of an impacting system via linear augmentation // Physica D. 2017. № 348. Р. 1–11. https://doi.org/10.1016/j.physd.2017.02.018

7. Marmillot P., Kaufman M., Hervagault J-F. Multiple steady states and dissipative structures in a circular and linear array of three cells: Numerical and experimental approaches // J. Chem. Phys. 1991. № 95(2). Р. 1206–1214. https://doi.org/10.1063/1.461151

8. Kuznetsov Y. Elements of Applied Bifurcation Theory, 3rd edition. Springer-Verlag, 2004. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3978-7

9. Chaotic Dynamics in Two-Dimensional Noninvertible Maps / C. Mira, L. Gardini, A. Barugola, J.C. Cathala // World Scientific Publishing, Singapore. 1996. 632 p. https://doi.org/10.1142/2252

10. On some properties of invariant sets of two-dimensional noninvertible maps / C. E. Frouzakis, L. Gardini, I. G. Kevrekidis, G. Millerioux, C. Mira // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1997. № 7(06). Р. 1167–1194. https://doi.org/10.1142/S0218127497000613

11. Parker T. S., Chua L. O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. Springer-Verlag, New York, 1989. http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-3486-9

12. Nusse H. E., Yorke J. A. A procedure for finding numerical trajectories in chaotic saddles // Physica D. 1989. № 36(1-2). Р. 137–156. https://doi.org/10.1016/0167-2789(89)90253-4

13. You Z., Kostelich E. J., Yorke J. A. Calculating stable and unstable manifolds // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1991. № 01(03). Р. 605–623. https://doi.org/10.1142/S0218127491000440

14. England J.P., Krauskopf B., Osinga H.M. Computing one-dimensional stable manifolds and stable sets of planar maps without the inverse // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 2004. №3(2). Р. 161–190. https://doi.org/10.1137/030600131

15. A survey of methods for computing (un)stable manifolds of vector fields / B. Krauskopf, H.M. Osinga, E.J. Doedel, M.E. Henderson, J. Guckenheimer, A. Vladimirsky, M. Dellnitz, O. Junge // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2005. № 15(03). Р. 763–791. https://doi.org/10.1142/S0218127405012533

16. Fundinger D. Toward the calculation of higher-dimensional stable manifolds and stable sets for noninvertible and piecewise-smooth maps // J. Nonlinear Sci. 2008. № 18. Р. 391–413. https://doi.org/10.1007/s00332-007-9016-4

17. Li H., Fan Y., Zhang J. A new algorithm for computing one-dimensional stable and unstable manifolds of maps // Int. J. Bifurcation and Chaos. Vol. 2012. № 22(01). Р. 1250018. https://doi.org/10.1142/S0218127412500186

18. Invariant manifolds and global bifurcations / J. Guckenheimer, B. Krauskopf, H. M. Osinga, B. B. Sandstede // Chaos. 2015. № 25(9). Р. 097604. https://doi.org/10.1063/1.4915528

19. Yue X-L., Xu Y, Xu W., Sun J-Q. Global Invariant manifolds of dynamical systems with the compatible cell mapping method // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2019. № 29(8). Р. 1950105. https://doi.org/10.1142/S0218127419501050

20. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Equilibrium-torus bifurcation in nonsmooth systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2008. № 237(7). Р. 930-936. https://doi.org/10.1016/j.physd.2007.11.019

21. Simpson D.J.W. The structure of mode-locking regions of piecewise-linear continuous maps: I. Nearby mode-locking regions and shrinking points // Nonlinearity. 2016. № 30(1). Р. 382–444. https://doi.org/10.1088/1361-6544/aa4f49

22. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. World Scientific, Singapore, 2003.

23. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Direct transition from a stable equilibrium to quasiperiodicity in non-smooth systems // Physics Letters A. 2008. № 372(13). Р. 2237–2246. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2007.08.077

24. Baushev V. S., Zhusubaliyev Zh. T. Indeterminable states of a voltage regulator with pulse-width control // Elect. Techn. 1992. № 3. Р. 85-98.

25. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., De S., Banerjee S. Transitions from phaselocked dynamics to chaos in a piecewise-linear map // Physical Review E. 2008. № 77. Р. 026206. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.77.026206

26. De S., Dutta P.S., Banerjee S. Torus destruction in a nonsmooth noninvertible map // Physics Letters A. 2012. № 376. Р. 400-406. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2011.11.017

27. Аvrutin V., Zhusubaliyev Zh. T. Nested closed invariant curves in piecewise smooth maps // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2019. № 29(7). Р. 1930017. https://doi.org/10.1142/S0218127419300179