Чебышёвский альтернанс при аппроксимации начальных условий обратной задачи Коши

Цель исследования. Работа посвящена кругу вопросов, относящихся к задаче Коши на отрезке действительной оси с приложением к исследованию обратной задачи Коши, в которой по эксперимен-тальным или табличным значениям решения дифференциального уравнения оптимально восстанавли-вают вещественные константы – начальные условия. В качестве объекта исследования выбрана информационно-измерительная система, в которой по дискретным значениям функции решения задачи Коши вычисляются приближенные значения начальных условий.
Методы. Для этого решены следующие задачи: разработаны параметры размещения измерительного участка на исследуемом объекте и сетка аппроксимации на измерительном участке. Сформулированы характеристики точности восстановления начальных условий задачи.
Результаты. Предложен экспериментально-расчетный метод определения начальных условий в обратной задаче Коши, основанный на понятии целевой функции регуляризации задачи. Также предложен параметр регуляризации задачи в виде минимального значения функцией Лебега.
Заключение. В результате проведенных исследований рассмотрена реакция метода равномерного приближения начальных условий в обратной задаче Коши на отклонение координат узлов сетки аппроксимации от координат Чебышёвского альтернанса. Приведены графики реакции метода на отклонение шага сетки от оптимального шага.

1. Локтионов А. П. Численное дифференцирование в модели измерений // Измерительная техника. 2019. № 8. С. 14-19. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2019-8-14-19.

2. Локтионов А.П., Максимов Ю.А., Титов В.С. О численном дифференцировании в обратной задаче Коши // Сварка и родственные технологии в машиностроении и электронике: сборник научных тр. Вып. 4. Курск, 2002. С. 263-268. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=21788616. (дата обращения: 20.04.2021).

3. Ahnert K., Abel M. Numerical differentiation of experimental data: local versus global methods // Computer Physics Communications. 2007. Vol. 177(10). P. 764-774. https://doi.org/10.1016/j.cpc.2007.03.009.

4. Локтионов А. П. Структурная регуляризация подсистемы преобразовательного компонента преобразовательно-вычислительных систем. Курск, 2009. 323 с.

5. Stickel J.J. Data smoothing and numerical differentiation by a regularization method // Computers & Chemical Engineering. 2010. Vol. 34(4). P. 467-475. https:// doi:10.1016/j.compchemeng.2009.10.007.

6. Перельмутер А.В. Обратные задачи строительной механики // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2020. Т. 22(4). С. 83-101. https://doi.org/10.31675/1607-1859-2020-22-4-83-101.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория знаний, 2020.

8. Сирая Т. Н. Методы обработки данных при измерениях и метрологические модели // Измерительная техника. 2018. № 1. С. 9-14. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2018-1-9-14.

9. Jang T.S., Han S.L. Numerical experiments on determination of spatially concentrated time-varying loads on a beam: an iterative regularization method // The Journal of Mechanical Science and Technology. 2009. Vol. 23(10). P. 2722-2729. URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s12206-009-0735-3/. (дата обращения 20.04.2021).

10. Danchenko V.I., Kondakova E.N. Chebyshev’s alternance in the approximation of constants by simple partial fractions // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2010. Vol. 270(1). P. 80–90. https://doi.org/10.1134/s0081543810030065.

11. Копит Т.А., Чуличков А.И., Устинин Д. М. Эмпирическое восстановление нечеткой модели эксперимента и редукция измерений в равномерной метрике // Вычислительные методы и программирование. 2011. Т. 12. С. 90-96. URL: http://nummeth.srcc.msu.ru/zhurnal/tom_2011/pdf/v12r111.pdf. (дата обращения 20.04.2021).

12. Cheney E.W., Kincaid D.R. Numerical Mathematics and Computing. Belmont. California. USA: Thomson Brooks/Cole; 2013.

13. Chekushkin V.V., Mikheev K.V. Fast search algorithms for the best approximation polynomials for reproduction of functional dependences in data-measurement systems // Measurement Techniques. 2016. Vol. 59(4). P. 351-356. https://doi.org/10.1007/s11018-016-0970-9.

14. Korytov M.S., Shcherbakov V.S., Shershneva E.O., Breus I.V. Approximation methods for the actual trajectory of load carried by overhead crane to the required one – a comparative analysis // Journal of the Serbian Society for Computational Mechanics. 2016. Vol. 10(2). P. 45-56. URL: http://www.sscm.kg.ac.rs/jsscm/downloads/Vol10No2/Vol10No2_05.pdf. (дата обращения: 20.04.2021).

15. Loktionov A.P. A measuring system for determination of a cantilever beam support moment // Smart Structures Systems. 2017. Vol. 19(4). P. 431-439. https://doi.org/10.12989/sss.2017.19.4.431.

16. Verbrugge M.W., Wampler C.W., Baker D.R. Smoothing methods for numerical differentiation to identify electrochemical reactions from open-circuit-potential data // Journal of The Electrochemical Society. 2018. Vol. 165(16). P. A4000-A4011. https://doi.org/10.1149/2.0951816jes.

17. Кудрявцев К.Я. Алгоритм построения полинома наилучшего равномерного приближения по экспериментальным данным // Вестник национального исследовательского ядерного университета МИФИ. 2019. Т. 8(5). С. 480-486. https://doi.org/10.1134/S2304487X1905002X.

18. Kalenchuk-Porkhanova A. Best Chebyshev approximation for compression of big information arrays // Proceedings of the 10th International Scientific and Practical Conference named after A. I. Kitov "Information Technologies and Mathematical Methods in Economics and Management (IT&MM-2020)". October 15-16, 2020. Moscow. Russia. P. 1-13. URL: http://sunsite.informatik.rwth-aachen.de/ftp/pub/publications/CEUR-WS/Vol-2830.zip. paper25.pdf. (дата обращения 20.04.2021).

19. Панферов С.В., Панферов В.И. Численная аппроксимация конвективного граничного условия для сеток с подвижными узлами // Вестник ЮУрГУ. Серия «Энергетика». 2015. Т. 15. № 4. С. 13–18. https://doi.org/10.14529/power150402. URL: https://dspace.susu.ru/xmlui/bitstream/handle/0001.74/7282/2.pdf?sequence=1&isAllowed=.

20. Loktionov A.P. Improving the polynomial approximation of an object characteristic that is not directly measurable by using measurement reduction // Measurement Techniques. 2017. Vol. 59(10). P. 1042-1050. https://doi.org/10.1007/s11018-017-1089-3.

21. Yang C. Sensor placement for structural health monitoring using hybrid optimization algorithm based on sensor distribution index and FE grids // Structural Control and Health Monitoring. 2018. Vol. 5(6). https://doi.org/0.1002/stc.2160.

22. Данилов М.Ф., Савельева А.А. Анализ исходных данных неустойчивых задач координатных измерений геометрических параметров деталей // Измерительная техника. 2018. № 6. С. 41-45. https://doi.org/10.32446/0368-1025it-2018-6-41-45.

23. Loktionov A.P. Information measuring system of numerical differentiation for the analysis of elements of mechanical structures // Journal of the Serbian Society for Computational Mechanics. 2018. Vol. 12(2). P. 53-71. https://doi.org/10.24874/jsscm.2018.12.02.04.

24. Daili N., Guesmia A. Remez algorithm applied to the best uniform polynomial approximations // General Mathematics Notes. 2013. Vol. 17(1). P. 16-31. URL: http://emis.impa.br/EMIS/journals/GMN/volumes/vol_17_no_1_july_2013.html. (дата обращения 20.04.2021).

25. Hoang N.S. On node distributions for interpolation and spectral methods // arXiv: 1305.6104v1 [math.NA]. 27 May 2013. 2013. P. 1-18. Cornell University. URL: https://arxiv.org/abs/1305.6104v1. (дата обращения 20.04.2021).

26. Ibrahimoglu B.A. Lebesgue functions and Lebesgue constants in polynomial interpolation // Journal of Inequalities and Applications. 2016:93. P. 1-15. https://doi.org/10.1186/s13660-016-1030-3.

27. Шакиров И.А. Полное исследование функций Лебега, соответствующих классическим интерполяционным полиномам Лагранжа // Известия вузов. Математика. Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421100123109. 2011. №10. C. 80–88. URL: http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/. (дата обращения 20.04.2021).

28. Байдакова Н.В. Оценка снизу функции Лебега интерполяционного процесса алгебраическими многочленами по равномерным узлам симплекса // Математические заметки. 2012. Т. 92. № 1. C. 19-26. https://doi.org/10.4213/mzm8965. URL: http://www.mathnet.ru/links/b65d1e3cffe7d4a08483b370ed70849a/mzm8965.pdf.

29. Лалин В.В., Беляев М.О. Изгиб геометрически нелинейного консольного стержня. Решение по теориям Кирхгофа и Коссера – Тимошенко // Инженерностроительный журнал. 2015. Т. 53. № 1. С. 39-55. https://doi.org/10.5862/MCE.53.5. URL: https://engstroy.spbstu.ru/userfiles/files/2015/1(53)/05.pdf.

30. Tusnina O.A., Danilov A.I. The stiffness of rigid joints of beam with hollow section column // Magazine of Civil Engineering. 2016. Vol. 64(4). Pp. 40–51. DOI: 10.5862/MCE.64.4. URL: https://engstroy.spbstu.ru/userfiles/files/2016/4(64)/04.pdf.

31. Tusnina V.M. Semi-rigid steel beam-to-column connections // Magazine of Civil Engineering. 2017. Vol. 73(5). Pp. 25-39. DOI: 10.18720/MCE.73.3. URL: https:// engstroy.spbstu.ru/userfiles/files/2017/5(73)/03.pdf (дата обращения 20.04.2021).

32. Кашеварова Г.Г., Тонков Ю.Л., Тонков И.Л. Интеллектуальная автоматизация инженерного обследования строительных объектов // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2017. Vol. 13(3). Pp. 42–57. https://doi.org/10.22337/1524-5845-2017-13-3-42-57.

33. A wireless passive sensing system for displacement/strain measurement in reinforced concrete members / B. Ozbey, V.B. Erturk, H.V. Demir, A. Altintas, O.A. Kurc // Sensors. 2016. Vol. 16(4). Pp. 1-14. https://doi.org/10.3390/s16040496.

34. Building structural health monitoring using dense and sparse topology wireless sensor network / M.E. Haque, M.F.M. Zain, M.A. Hannan, M.H. Rahman // Smart Structures and Systems. 2015. Vol. 16(4). Pp. 607-621. https://doi.org/10.12989/sss.2015.16.4.623.