Устойчивость колебаний импульсной системы управления электроприводом

Цель исследования. Исследование устойчивости колебаний импульсной системы управления электроприводом постоянного тока с целью обеспечения рабочих режимов с заданными динамическими характеристиками.
Методы. Анализ устойчивости периодических решений дифференциальных уравнений с разрывной правой частью сводится к задаче исследования локальной устойчивости неподвижных точек отображения.
Результаты. Проведен анализ устойчивости в зависимости от напряжения питания электропривода и коэффициента усиления корректирующего звена в цепи обратной связи. Выявлено, что граница области устойчивости на плоскости варьируемых параметров имеет ярко выраженный экстремум в виде максимума в бифуркационной точке коразмерности два, называемой еще точкой резонанса 1:2. По одну сторону от этой точки область устойчивости ограничена линией бифуркации Неймарка-Сакера, а по другую – линией бифуркации удвоения периода. Это означает, что с изменением параметров радиус области устойчивости сначала растет, достигая максимума в точке резонанса 1:2, а затем уменьшается. Этот важный вывод можно использовать в оптимизационных расчетах.
Заключение. Выполнен анализ устойчивости импульсной системы управления электроприводом постоянного тока, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями разрывной правой частью. Задача поиска периодических решений дифференциальных уравнений сведена к задаче поиска неподвижных точек отображения. Неподвижные точки отображения удовлетворяют системе нелинейных уравнений, которая решалась численно методом Ньютона-Рафсона. Устойчивость периодических решений дифференциальных уравнений отвечает устойчивости неподвижных точек соответствующего отображения. Исследования проводились при вариации коэффициента усиления в цепи обратной связи и напряжения питания. Выявлено, что потеря неподвижной точки происходит через суперкритическую бифуркацию Неймарка-Сакера, когда при изменении параметров комплексно-сопряженная пара мультипликаторов выходит из единичного круга. Однако при увеличении напряжения питания граница бифуркации Неймарка-Сакера переходит в границу бифуркации удвоения периода в точке резонанса 1:2.

1. Xаотическая динамика импульсных систем / Ж. Т. Жусубалиев, В. Г. Рубанов, В. С. Титов, О. О. Яночкина. Белгород: Изд-во БГТУ, 2018.

2. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific; 2003. https://doi.org/10.1142/5313

3. Зотин Д. В., Михальченко Г.Я. Режимы функционирования электропривода постоянного тока с импульсным регулированием // Проблемы автоматизации энергосберегающих технологий: сборник научных трудов / под. ред. Г.Я. Михальченко. Брянск: Изд.-во БГТУ, 2001. С. 79 –87.

4. Feigin M. Doubling of the oscillation period with C-bifurcations in piecewise continuous systems // J. Appl. Math. Mech. 1970. Vol. 34. № (5)6. Р. 822–830. https://doi.org/10.1016/0021-8928(70)90064-X

5. Filippov A.F. Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1988. https://doi.org/10.1007/978-94-015-7793-9

6. Piecewise-Smooth Dynamical Systems: Theory and Applications / di M. Bernardo, C. J. Budd, A. R. Champneys, P. Kowalczyk. London: Springer-Verlag, 2008. https://doi.org/10.1007/978-1-84628-708-4

7. Kuznetsov Yu. Elements of Applied Bifurcation Theory. New York, Springer, 2004. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3978-7

8. Bifurcations from an invariant circle for two-parameter families of maps of the plane / D. G. Aronson, M. A. Chory, G. R. Hall, R.P. McGehee // A computer-assisted study. Comm. Math. Physics. 1982, vol. 83. № 3. Р. 303–354. https://doi.org/10.1007/BF01213607

9. Global bifurcations of closed invariant curves in two-dimensional maps: A computer assisted study / A. Agliari, G.-I. Bischi, R. Dieci, L. Gardini // Int. J. Bifurcation Chaos. 2005. Vol. 15. № 4. Р. 1285–1328, https://doi.org/10.1142/S0218127405012685

10. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Torus birth bifurcation in a DC/DC converter // IEEE Trans. Circ. & Sys. I. 2006. Vol. 53. № 8. Р. 1839–1850. https://doi.org/10.1109/TCSI.2006.879060

11. Sushko I., Gardini L. Center Bifurcation for a Two-Dimensional border-Collision Normal Form // Int. J. Bifurcation Chaos. 2008. Vol. 18. №4. P. 1029–1050. https://doi.org/10.1142/S0218127408020823

12. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Equilibrium-torus bifurcation in nonsmooth systems // Physica D. 2008. Vol. 237, № 7. P. 930 – 936. https://doi.org/10.1016/j.physd.2007.11.019

13. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Direct transition from a stable equilibrium to quasiperiodicity in non-smooth systems // Physics Letters A. 2008. Vol. 372, № 13. P. 2237–2246. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2007.08.077

14. Zhusubaliyev Zh. T., Soukhoterin E., Mosekilde E. Quasiperiodicity and torus breakdown in a power electronic DC/DC converter // Mathematics and Computers in Simulation. 2007. Vol. 73, № 6. P. 364–377. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2006.06.021

15. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Yanochkina O.O. Torus bifurcations in multilevel converter systems // Int. J. Bifurcation Chaos. 2011. Vol. 21, № 8. P. 2343-2356. https://doi.org/10.1142/S0218127411029835

16. An Exploration of Dynamical Systems and Chaos / J. Argyris, G. Faust, M. Haase, R. Friederich. New York: Springer. 2015. https://doi.org/10.1007/978-3-662-46042-9

17. Alligood K.T., Sauer T.D., Yorke J. A. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. New York: Springer, 2000. https://doi.org/10.1007/b97589

18. Parker T. S. Chua L.O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. Berlin: Springer-Verlag, 1989. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-3486-9

19. Strogatz S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. 2nd ed. Boulder: Westview Press, 2015. https://doi.org/10.1063/PT.3.2751

20. Palis J., De Melo W. Geometric Theory of Dynamical Systems. New York, Berlin: Springer-Verlag, 1982. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5703-5

21. Avrutin V., Gardini L., Sushko I., Tramontana F. Continuous and Discontinuous Piecewise-Smooth One-Dimensional Maps: Invariant Sets and Bifurcation Structures. Singapore: World Scientific, 2019. https://doi.org/10.1142/8285