Бифуркационный анализ кусочно-гладких бимодальных отображений с помощью нормальной формы

Цель работы. Исследование бифуркаций в бимодальных кусочно-гладких отображениях с использованием кусочно-линейного непрерывного отображения в качестве нормальной формы.
Методы. Мы предлагаем методикy определения параметров нормальной формы на базе линеаризации кусочно-гладкого отображения в окрестности критической неподвижной точки.
Результаты. На плоскости параметров численно и аналитически построена область устойчивости неподвижной точки. Показано, что эта область ограничена двумя бифуркационными кривыми: линиями классической бифуркации удвоения периода и «border collision» бифуркации. Предложена методика определения параметров нормальной формы как функции параметров кусочно-гладкого отображения. Проведен анализ «border-collision» бифуркаций с использованием кусочно-линейной нормальной формы.
Заключение. Выполнен бифуркационный анализ кусочно-гладкого необратимого бимодального отображения класса Z₁–Z₃–Z₁, моделирующего динамику системы управления с импульсной модуляцией. Предложена методика расчёта параметров кусочно-линейного непрерывного отображения, используемого в качестве нормальной формы. Рассчитаны основные бифуркационные переходы при выходе из области устойчивости как с использованием исходного отображения, так и с помощью кусочно-линейной нормальной формы. Численно доказана топологическая эквивалентность этих отображений, указывающая на достоверность результатов расчёта параметров нормальной формы.

1. Sharkovsky A., Kolyada S., Sivak A., Fedorenko V. Dynamics of One-dimensional Maps. Dordrecht: Springer; 1997. https://doi.org/10.1007/978-94-015-8897-3

2. Bifurcations of attracting cycles from delayed Chua’s circuit / Yu. L. Maistrenko, V. L. Maistrenko, S. U. Vikil, L. O. Chua // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1995. № 5 (3). Р. 653–671. https://doi.org/10.1142/S021812749500051X

3. Bifurcations in one-dimensional piecewise smooth maps: Theory and applications in switching circuits / S. Banerjee, M. S. Karthik, G. Yuan, J. A. Yorke // IEEE Trans. Circ. and Sys. I. 2000. № 47 (3). Р. 389–394. https://doi.org/10.1109/81.841921

4. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific; 2003. https://doi.org/10.1142/5313

5. Panchuk A., Sushko I., Schenke B., Avrutin V. Bifurcation structures in a bimodal piecewise linear map: regular dynamics. Int. J. Bifurcation and Chaos. 2013, № 23 (12). Р. 1330040. https://doi.org/10.1142/S0218127413300401

6. Continuous and Discontinuous Piecewise-Smooth One-Dimensional Maps: Invariant Sets and Bifurcation Structures / V. Avrutin, L. Gardini, I. Sushko, F. Tramontana // Singapore: World Scientific. 2019. https://doi.org/10.1142/8285

7. Chaotic Dynamics in Two-Dimensional Noninvertible Maps / C. Mira, L. Gardini, A. Barugola, J. C. Cathala // Singapore: World Scientific; 1996. https://doi.org/10.1142/2252

8. Feigin M. I. Doubling of the oscillation period with C-bifurcations in piecewise continuous systems // J. Appl. Math. Mech. 1970. №34 (5). Р. 822 – 830. https://doi.org/10.1016/0021-8928(70)90064-X

9. Local analysis of C-bifurcations in n-dimensional piecewise-smooth dynamical systems / di M. Bernardo, M. I. Feigin, S. J. Hogan, M. E. Homer // Chaos, Solitons and Fractals. 1999. №10 (11). Р. 1881 – 1908. https://doi.org/10.1016/S0960-0779(98)00317-8

10. Nusse H. E., Yorke J. A. Border-collision bifurcations including “period two to period three” for piecewise smooth systems // Physica D. 1992. № 57 (1-2). Р. 39 – 57. https://doi.org/10.1016/0167-2789(92)90087-4

11. Nusse H. E., Yorke J. A. Border collision bifurcation: an explanation for observed bifurcation phenomena // Physical Review E. 1994. № 49. Р. 1073-1076. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.49.1073

12. Nusse H. E., Yorke, J. A. Border-collision bifurcations for piecewise smooth one dimensional maps // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1995. № 5 (1). Р. 189–207. https://doi.org/10.1142/S0218127495000156

13. Piecewise-Smooth Dynamical Systems: Theory and Applications / M. di Bernardo, C. J. Budd, A. R. Champneys, P. Kowalczyk. London: Springer-Verlag, 2008. https://doi.org/10.1007/978-1-84628-708-4

14. Dangerous bifurcations revisited / V. Avrutin, Zh. T. Zhusubaliyev, A. Saha, S. Banerjee, I. Sushko, L. Gardini // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2016. № 26 (14). Р. 1630040 (24 pages). https://doi.org/10.1142/S0218127416300408

15. Transitions from phase-locked dynamics to chaos in a piecewise-linear map / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde, S. De, S. Banerjee // Physical Review E. 2008. № 77. Р. 026206. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.77.026206

16. Border collision route to quasiperiodicity: Numerical investigation and experimental confirmation / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde, S. Maity, S. Mohanan, S. Banerjee // Chaos. 2006. № 16(2). Р. 023122. https://doi.org/10.1063/1.2208565

17. Sushko I., Avrutin V., Gardini L. Bifurcation structure in the skew tent map and its application as a border collision normal form // Journal of Difference Equations and Applications. 2016. №22(8). Р.1040–1087. http://dx.doi.org/10.1080/10236198.2015.1113273

18. Sushko I., Gardini L., Avrutin V. Nonsmooth one-dimensional maps: some basic concepts and definitions // Journal of difference equations and applications. 2016. № 22 (12). Р. 1816-1870. http://dx.doi.org/10.1080/10236198.2016.1248426.

19. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Equilibrium-torus bifurcation in nonsmooth systems. Physica D. 2008. №237(7). Р. 930 – 936. https://doi.org/10.1016/j.physd.2007.11.019

20. Onset of chaos in a single-phase power electronic inverter / V. Avrutin, E. Mosekilde, Zh. T. Zhusubaliyev, L. Gardini // Chaos. 2015. №25 (4). Р. 043114-1 – 043114-14. https://doi.org/10.1063/1.4918299