Preview

Известия Юго-Западного государственного университета

Расширенный поиск

Бифуркационный анализ кусочно-гладких бимодальных отображений с помощью нормальной формы

https://doi.org/10.21869/2223-1560-2020-24-3-137-151

Полный текст:

Аннотация

Цель работы. Исследование бифуркаций в бимодальных кусочно-гладких отображениях с использованием кусочно-линейного непрерывного отображения в качестве нормальной формы.
Методы. Мы предлагаем методикy определения параметров нормальной формы на базе линеаризации кусочно-гладкого отображения в окрестности критической неподвижной точки.
Результаты. На плоскости параметров численно и аналитически построена область устойчивости неподвижной точки. Показано, что эта область ограничена двумя бифуркационными кривыми: линиями классической бифуркации удвоения периода и «border collision» бифуркации. Предложена методика определения параметров нормальной формы как функции параметров кусочно-гладкого отображения. Проведен анализ «border-collision» бифуркаций с использованием кусочно-линейной нормальной формы.
Заключение. Выполнен бифуркационный анализ кусочно-гладкого необратимого бимодального отображения класса Z1–Z3–Z1, моделирующего динамику системы управления с импульсной модуляцией. Предложена методика расчёта параметров кусочно-линейного непрерывного отображения, используемого в качестве нормальной формы. Рассчитаны основные бифуркационные переходы при выходе из области устойчивости как с использованием исходного отображения, так и с помощью кусочно-линейной нормальной формы. Численно доказана топологическая эквивалентность этих отображений, указывающая на достоверность результатов расчёта параметров нормальной формы.

Об авторах

Ж. Т. Жусубалиев
Юго-Западный государственный университет
Россия

Жусубалиев Жаныбай Турсунбаевич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры вычислительной техники

ул. 50 лет Октября 94, г. Курск 305040



Д. С. Кузьмина
Юго-Западный государственный университет
Россия

Кузьмина Дарья Сергеевна, магистр кафедры вычислительной техники

ул. 50 лет Октября 94, г. Курск 305040



О. О. Яночкина
Юго-Западный государственный университет
Россия

Яночкина Ольга Олеговна, кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной техники

ул. 50 лет Октября 94, г. Курск 305040



Список литературы

1. Sharkovsky A., Kolyada S., Sivak A., Fedorenko V. Dynamics of One-dimensional Maps. Dordrecht: Springer; 1997. https://doi.org/10.1007/978-94-015-8897-3

2. Bifurcations of attracting cycles from delayed Chua’s circuit / Yu. L. Maistrenko, V. L. Maistrenko, S. U. Vikil, L. O. Chua // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1995. № 5 (3). Р. 653–671. https://doi.org/10.1142/S021812749500051X

3. Bifurcations in one-dimensional piecewise smooth maps: Theory and applications in switching circuits / S. Banerjee, M. S. Karthik, G. Yuan, J. A. Yorke // IEEE Trans. Circ. and Sys. I. 2000. № 47 (3). Р. 389–394. https://doi.org/10.1109/81.841921

4. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific; 2003. https://doi.org/10.1142/5313

5. Panchuk A., Sushko I., Schenke B., Avrutin V. Bifurcation structures in a bimodal piecewise linear map: regular dynamics. Int. J. Bifurcation and Chaos. 2013, № 23 (12). Р. 1330040. https://doi.org/10.1142/S0218127413300401

6. Continuous and Discontinuous Piecewise-Smooth One-Dimensional Maps: Invariant Sets and Bifurcation Structures / V. Avrutin, L. Gardini, I. Sushko, F. Tramontana // Singapore: World Scientific. 2019. https://doi.org/10.1142/8285

7. Chaotic Dynamics in Two-Dimensional Noninvertible Maps / C. Mira, L. Gardini, A. Barugola, J. C. Cathala // Singapore: World Scientific; 1996. https://doi.org/10.1142/2252

8. Feigin M. I. Doubling of the oscillation period with C-bifurcations in piecewise continuous systems // J. Appl. Math. Mech. 1970. №34 (5). Р. 822 – 830. https://doi.org/10.1016/0021-8928(70)90064-X

9. Local analysis of C-bifurcations in n-dimensional piecewise-smooth dynamical systems / di M. Bernardo, M. I. Feigin, S. J. Hogan, M. E. Homer // Chaos, Solitons and Fractals. 1999. №10 (11). Р. 1881 – 1908. https://doi.org/10.1016/S0960-0779(98)00317-8

10. Nusse H. E., Yorke J. A. Border-collision bifurcations including “period two to period three” for piecewise smooth systems // Physica D. 1992. № 57 (1-2). Р. 39 – 57. https://doi.org/10.1016/0167-2789(92)90087-4

11. Nusse H. E., Yorke J. A. Border collision bifurcation: an explanation for observed bifurcation phenomena // Physical Review E. 1994. № 49. Р. 1073-1076. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.49.1073

12. Nusse H. E., Yorke, J. A. Border-collision bifurcations for piecewise smooth one dimensional maps // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1995. № 5 (1). Р. 189–207. https://doi.org/10.1142/S0218127495000156

13. Piecewise-Smooth Dynamical Systems: Theory and Applications / M. di Bernardo, C. J. Budd, A. R. Champneys, P. Kowalczyk. London: Springer-Verlag, 2008. https://doi.org/10.1007/978-1-84628-708-4

14. Dangerous bifurcations revisited / V. Avrutin, Zh. T. Zhusubaliyev, A. Saha, S. Banerjee, I. Sushko, L. Gardini // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2016. № 26 (14). Р. 1630040 (24 pages). https://doi.org/10.1142/S0218127416300408

15. Transitions from phase-locked dynamics to chaos in a piecewise-linear map / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde, S. De, S. Banerjee // Physical Review E. 2008. № 77. Р. 026206. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.77.026206

16. Border collision route to quasiperiodicity: Numerical investigation and experimental confirmation / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde, S. Maity, S. Mohanan, S. Banerjee // Chaos. 2006. № 16(2). Р. 023122. https://doi.org/10.1063/1.2208565

17. Sushko I., Avrutin V., Gardini L. Bifurcation structure in the skew tent map and its application as a border collision normal form // Journal of Difference Equations and Applications. 2016. №22(8). Р.1040–1087. http://dx.doi.org/10.1080/10236198.2015.1113273

18. Sushko I., Gardini L., Avrutin V. Nonsmooth one-dimensional maps: some basic concepts and definitions // Journal of difference equations and applications. 2016. № 22 (12). Р. 1816-1870. http://dx.doi.org/10.1080/10236198.2016.1248426.

19. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Equilibrium-torus bifurcation in nonsmooth systems. Physica D. 2008. №237(7). Р. 930 – 936. https://doi.org/10.1016/j.physd.2007.11.019

20. Onset of chaos in a single-phase power electronic inverter / V. Avrutin, E. Mosekilde, Zh. T. Zhusubaliyev, L. Gardini // Chaos. 2015. №25 (4). Р. 043114-1 – 043114-14. https://doi.org/10.1063/1.4918299


Для цитирования:


Жусубалиев Ж.Т., Кузьмина Д.С., Яночкина О.О. Бифуркационный анализ кусочно-гладких бимодальных отображений с помощью нормальной формы. Известия Юго-Западного государственного университета. 2020;24(3):137-151. https://doi.org/10.21869/2223-1560-2020-24-3-137-151

For citation:


Zhusubaliyev Z.T., Kuzmina D.S., Yanochkina O.O. Bifurcation Analysis of Piecewise Smooth Bimodal Maps Using Normal Form. Proceedings of the Southwest State University. 2020;24(3):137-151. (In Russ.) https://doi.org/10.21869/2223-1560-2020-24-3-137-151

Просмотров: 89


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2223-1560 (Print)
ISSN 2686-6757 (Online)