Преимущества применения вариационных интеграторов на группах Ли в задачах моделирования динамики механических систем

Целью исследования является рассмотрение преимуществ применения вариационных интеграторов на группах Ли в задачах физически корректного моделирования динамики механических систем и сравнение их с классическими невариационными интеграторами.

Методы. Для демонстрации возможностей вариационных интеграторов на группах Ли была разработана математическая модель динамики физического маятника. При построении математической модели динамики физического маятника использовались методы вариационного исчисления и методы теории групп Ли. Для проведения сравнительного анализа вариационных и невариационных интеграторов использовался метод Рунге-Кутты 4-го порядка. Моделирование осуществлялось в среде MATLAB.

Результаты. В ходе исследования разработан алгоритм вариационного интегратора на группах Ли для моделирования динамики физического маятника. Для сравнения вариационных интеграторов и метода Рунге-Кутты 4-го порядка были построены графики, показывающие, как изменяются с течением времени угловая скорость по осям, ортогональная ошибка, полная энергия и угловой момент. Графики демонстрируют, что несмотря на то, что угловая скорость для обоих методов одинакова, метод Рунге-Кутты не сохраняет геометрическую структуру непрерывной системы и не сохраняет основные постоянные величины моделируемой системы, а именно механическую энергию и импульс.

Заключение. Численное моделирование показало, что сохранение симплектических свойств систем и структуры групп Ли позволяет производить физически корректное компьютерное моделирование динамики механических систем. Вариационные интеграторы на группах Ли имеют существенные вычислительные преимущества по сравнению с классическими методами интегрирования, которые не сохраняют геометрическую структуру непрерывной системы и основные постоянные величины системы, и другими вариационными интеграторами, которые сохраняют либо ни одно, либо одно из этих свойств.

1. Полак Л. С. Вариационные принципы механики // Сборник статей классиков науки. М.: Физматгиз, 1959. 932 с.

2. Полак Л. С. Вариационные принципы механики. Их развитие и применение в физике. 2-е изд. М.: Книжный дом «Либроком», 2010. 600 с.

3. Некоторые проблемы моделирования динамики механических систем и их решение методами вариационных интеграторов группы Ли / И. С. Моисеев, А. А. Жиленков, В. В. Ениватов, А. А. Зинченко // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2021. Т. 17, № 1. С. 81-89.

4. Geometric, variational integrators for computer animation / L. Kharevych, Y. Weiwei, Y. Tong et al. // Eurographics Symposium on Computer Animation. Austria. – Vienna: Eurographics Association, 2006. P. 43-51.

5. Zeng L., Jacobsen S. B. Variational Principle for Planetary Interiors // The Astrophysical Journal. 2016. Vol. 829, №1. P. 7.

6. Moiseev I. S., Zhilenkov A. A. Application of Variational Integrators in Modeling the Dynamics of Mechanical Systems // Proceedings of the 2021 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering, ElConRus 2021, Moscow, 2021. P. 554-558. https://doi.org/10.1109/ElConRus51938.2021.9396088.

7. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989. 639 с.

8. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. 472 с

9. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. М.: Эдиториал УРСС, 2018. 320 с.

10. Marsden J. E., West M. Discrete mechanics and variational integrators // Acta Numerica. 2001. Vol. 10. P. 357-514.

11. Marsden J.E., Ratiu T.S. Introduction to Mechanics and Symmetry. New York: Springer, 1999. 586 p.

12. Nonsingular Integral-Type Dynamic Finite-Time Synchronization for Hyper-Chaotic Systems / K. A. Alattas, J. Mostafaee, S. Mobayen, et al. // Mathematics. 2022. Vol. 10, no. 1. https://doi.org/10.3390/math10010115. EDN: ZDBGGV.

13. Zenkov D. V., Leok M., Bloch A. M. Hamel's formalism and variational integrators on a sphere // 2012 IEEE 51st IEEE Conference on Decision and Control (CDC), Maui, HI, USA, 2012. P. 7504-7510. https://doi.org/10.1109/CDC.2012.6426779.

14. Lee T., Leok M., McClamroch N. H. Dynamics of connected rigid bodies in a perfect fluid // 2009 American Control Conference. St. Louis, MO, USA, 2009. P. 408-413. https://doi.org/10.1109/ACC.2009.5159850.

15. Fan T., Murphey T. Structured linearization of discrete mechanical systems on Lie groups: A synthesis of analysis and control // 2015 54th IEEE Conference on Decision and Control (CDC). Osaka, Japan, 2015. P. 1092-1099. https://doi.org/10.1109/CDC.2015.7402357.

16. Lee T., Leok M., McClamroch N. H. Geometric numerical integration for complex dynamics of tethered spacecraft // Proceedings of the 2011 American Control Conference. San Francisco, CA, USA, 2011. P. 1885-1891. https://doi.org/10.1109/ACC.2011.5990836.

17. Schultz J., Murphey T. D. Extending filter performance through structured integration // 2014 American Control Conference. Portland, OR, USA, 2014. P. 430-436. https://doi.org/10.1109/ACC.2014.6858979.

18. Johnson E. R., Murphey T. D. Discrete and continuous mechanics for tree representations of mechanical systems // 2008 IEEE International Conference on Robotics and Automation. Pasadena, CA, USA, 2008. P. 1106-1111. https://doi.org/10.1109/ROBOT.2008.4543352.

19. Bou-Rabee N., Owhadi H. Stochastic variational integrators // IMA Journal of Numerical Analysis. April 2009. Vol. 29, no. 2. P. 421-443. https://doi.org/10.1093/imanum/drn018.

20. Lee T., Leok M., McClamroch N. H. Dynamics of a 3D elastic string pendulum // Proceedings of the 48h IEEE Conference on Decision and Control (CDC) held jointly with 2009 28th Chinese Control Conference. Shanghai, China, 2009. P. 3347-3352. https://doi.org/10.1109/CDC.2009.5399611.