О двухчастотных колебаниях электропривода постоянного тока с импульсным управлением

Цель исследования. Анализ бифуркаций двухчастотных колебаний электропривода постоянного тока с широтно-импульсным управлением.
Методы. Исследования основаны на построении стробоскопического отображения Пуанкаре, расчете седловых периодических орбит и их устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий.
Результаты. Выполнено исследование механизмов возникновения двухчастотных колебаний из теряющего устойчивость периодического движения в электроприводе постоянного тока с широтно-импульсным управлением. Изучена нелокальная седло-узловая бифуркация, приводящая к резонансу (синхронизации) на торе, характеризуемом парой независимых частот, когда их отношение становится рациональным числом.
Заключение. Проведен бифуркационный анализ системы управления электроприводом постоянного тока, динамика которой описывается негладкими неавтономными дифференциальными уравнениями. Исследования проводились на итерируемом отображении, полученном из указанного векторного поля в аналитическом виде. Показано, что рассматриваемая система демонстрирует двухчастотные колебания, которые возникают через бифуркацию Неймарка-Саккера. В фазовом пространстве дискретной модели колебаниям с двумя независимыми частотами соответствует замкнутая инвариантная кривая. Показано, что если эти частоты соотносятся кратно, то происходит резонанс, когда динамика становится периодической. Но при этом замкнутая кривая остается инвариантной, а предельные точки орбиты образуют пару периодических циклов – устойчивый и седловой, отвечающих рациональному отношению частот. Замкнутая инвариантная кривая образована неустойчивыми многообразиями седлового цикла. Если же отношение частот иррациональное, то динамика квазипериодическая. Орбиты такого движения всюду плотно заполняют замкнутую кривую.

1. Alligood K.T., Sauer T.D., Yorke J. A. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. New York: Springer, 2000. https://doi.org/10.1007/b97589

2. Parker T. S., Chua L.O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. Berlin: Springer-Verlag, 1989. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-3486-9

3. Strogatz S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. 2nd ed. Boulder: Westview Press, 2015. https://doi.org/10.1063/PT.3.2751

4. Palis J., De Melo W. Geometric Theory of Dynamical Systems. New York, Berlin: Springer-Verlag, 1982. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5703-5

5. Argyris J., Faust G., Haase M., Friederich R. An Exploration of Dynamical Systems and Chaos. New York: Springer, 2015. https://doi.org/10.1007/978-3-662-46042-9.

6. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Science. New York: Cambridge University Press, 2001. https://doi.org/10.1017/CBO9780511755743

7. Kuznetsov Yu. Elements of Applied Bifurcation Theory. New York: Springer, 2004. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3978-7

8. Aronson D. G., Chory M. A., Hall G. R., McGehee R.P. Bifurcations from an invariant circle for two-parameter families of maps of the plane: A computer-assisted study // Comm. Math. Physics. 1982. Vol. 83. № 3. P. 303–354. https://doi.org/10.1007/BF01213607.

9. Agliari A., Bischi G.-I., Dieci R., Gardini L. Global bifurcations of closed invariant curves in two-dimensional maps: A computer assisted study // Int. J. Bifurcation Chaos. 2005. Vol. 15. № 4. Р. 1285–1328, https://doi.org/10.1142/S0218127405012685

10. Sushko I., Gardini L. Center Bifurcation for a Two-Dimensional border-Collision Normal Form // Int. J. Bifurcation Chaos. 2008. Vol. 18. № 4. P. 1029–1050. https://doi.org/10.1142/S0218127408020823

11. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Torus birth bifurcation in a DC/DC converter // IEEE Trans. Circ. & Sys. I. 2006. Vol. 53. № 8. P. 1839–1850. https://doi.org/10.1109/TCSI.2006.879060

12. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Equilibrium-torus bifurcation in nonsmooth systems // Physica D. 2008. Vol. 237. № 7. P. 930 – 936. https://doi.org/10.1016/j.physd.2007.11.019

13. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Direct transition from a stable equilibrium to quasiperiodicity in non-smooth systems // Physics Letters A. 2008. Vol. 372. №13. P. 2237– 2246. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2007.08.077

14. Zhusubaliyev Zh. T., Soukhoterin E., Mosekilde E. Quasiperiodicity and torus breakdown in a power electronic DC/DC converter // Mathematics and Computers in Simulation. 2007. Vol. 73. № 6. P. 364–377. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2006.06.021

15. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Yanochkina O.O., Torus bifurcations in multilevel converter systems // Int. J. Bifurcation Chaos. 2011. Vol. 21. № 8. P. 2343-2356. https://doi.org/10.1142/S0218127411029835

16. Яночкина О.О., Болдырева Е.О. Устойчивость колебаний импульсной системы управления электроприводом // Известия Юго-Западного государственного университета. 2020; 24(3): 152-165. https://doi.org/10.21869/2223-1560-2020-24-3-152-165.

17. Xаотическая динамика импульсных систем / Ж. Т. Жусубалиев, В. Г. Рубанов, В. С. Титов, О. О. Яночкина. Белгород: Изд-во БГТУ, 2018.

18. Яночкина О.О., Чернецкая И.Е., Жусубалиев Ж.Т. Мультистабильность и квазипериодичность в системе управления барабанным окомкователем // Системы управления и информационные технологии. 2009. № 3 (37). C. 58-63.

19. Электропривод с многозонным импульсным управлением для окомкователя сыпучих материалов / Ж.Т. Жусубалиев, В.С. Титов, И.Е. Чернецкая, О.О. Яночкина // Электротехнические комплексы и системы управления. 2010. № 2. C. 45-50.

20. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ 2017661000 Российская Федерация. Программа расчета инвариантных многообразий седловых циклов двумерных обратимых кусочно-гладких отображений / Ж.Т. Жусубалиев, В.Г. Рубанов, Ю.А. Гольцов, О.О. Яночкина; заявитель и правообладатель Белгородский технологический университет им. В.Г. Шухова. №2017617817; заявл. 03.08.2017; опубл. 02.10.2017. 1 с.

21. Жусубалиев Ж.Т., Рубанов В.Г., Гольцов Ю.А. К расчету инвариантных многообразий кусочно-гладких отображений // Известия Юго-Западного государственного университета. 2020; 24(3): 166-182. https://doi.org/10.21869/2223-1560-2020-24-3-166-182.