Бифуркации в кусочно-линейной дискретной модели широтно-импульсной системы управления

   Цель работы. Исследуются вырожденные бифуркации («degenerate bifurcations») и бифуркации слияния («merging») хаотических аттракторов в системе управления с широтно-импульсной модуляцией, поведение которой описывается бимодальным кусочно-линейным непрерывным отображением. Хорошо известно, что в кусочно-линейных отображениях классические бифуркации такие, как удвоения периода, транскритическая и вилообразная, становятся вырожденными, сочетающие свойства классических гладких бифуркаций и бифуркаций граничного столкновения («border collision bifurcations»).

   Методы. Описано получение математической модели системы в форме кусочно-линейного отображения из векторного поля с разрывной правой частью методом построения стробоскопического отображения Пуанкаре. Выполнен анализ вырожденных бифуркаций удвоения периода методами теории критических линий в необратимых отображениях.

   Результаты. Выявлено, что рассматриваемое отображение обладает необычным свойством, которое заключается в следующем. В точке бифуркации удвоения периода неподвижной точки появляется интервал I, на границах которого лежат две точки цикла удвоенного периода. Причем, любая точка I, есть периодическая точка с периодом два. Доказано, что точки цикла удвоенного периода, лежащие на границе указанного интервала, совпадают с двумя многообразиями переключения. В качестве конкретного примера реальной физической системы, изучение которой сводится к кусочно-линейному отображению, рассмотрен преобразователь энергии с широтно-импульсным управлением. Приведены осциллограммы колебаний напряжения нагрузки, отвечающие неподвижной точке, циклу периода два и хаотическим режимам.

   Заключение. Изучены вырожденные бифуркации удвоения периода колебаний и бифуркации слияния циклов хаотических интервалов. Бифуркации циклов хаотических интервалов известны еще как кризисы хаотических аттракторов («merging crisis»). В точке бифуркации неустойчивая неподвижная точка с отрицательным мультипликатором сталкивается с границами хаотических аттракторов. Границы же хаотических аттракторов образованы так называемыми критическими точками и их образами. В момент бифуркации возникает негрубая гомоклиническая орбита. В силу того, что рассматриваемое отображение является кусочно-линейным, уравнения бифуркационных границ получены аналитически, решения которых находятся либо аналитически, либо численно.

1. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев, 1982.

2. Gelig A. Kh., Churilov A. N. Stability and oscillations of nonlinear pulse-modulated systems. Boston: Birkhauser, 1998.

3. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

4. On border-collision bifurcations in a pulse system / Zh.T. Zhusubaliyev, D.V. Titov, O.O. Yanochkina, U.A. Sopuev // Automation and Remote Control. 2024. Vol. 85(2). P. 103-122. DOI: 10.31857/S0005117924020025

5. О бифуркациях хаотических аттракторов в широтно-импульсной системе управления / Ж.Т. Жусубалиев, У.А. Сопуев, Д.А. Бушуев, А.С. Кучеров, А.З. Абдирасулов // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. проц. упр. 2024. Т. 20(1). С. 62-78. doi: 10.21638/11701/spbu10.2024.106

6. Кипнис М.М. Хаотические явления в детерминированной одномерной широтно-импульсной системе управления // Техническая кибернетика. 1992. № 1. С. 108-112.

7. Chaotic Dynamic in Two-Dimensional Noninvertible Maps / C. Mira, L. Gardini, A. Barugola, J.C. Cathala. Singapore: World Scientific, 1996.

8. Nusse H.E., Yorke J.A. Border-collision bifurcations including «period two to period three» for piecewise smooth system // Physica D. 1992. Vol. 57, no. 1-2. P. 39-57. doi: 10.1016/0167-2789(92)90087-4

9. Feigin M.I. Doubling of the oscillation period with C-bifurcations in piecewise continuous systems // Journal of Appl. Math. 1970. Vol. 34(5-6). P. 822-830. doi: 10.1016/0021-8928(70)90064-X

10. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994.

11. Local analysis of C-bifurcation in n-dimensional piecewise-smooth dynamical system / M. Di Bernardo, M.I. Feigin, S.J. Hogan, M.E. Homer // Chaos, Solitons and Fractals / 1999. Vol. 19, № 11. P. 1881-1908. doi: 10.1016/S0960-0779(98)00317-8

12. Banerjee S., Verghese C.C. (eds.) Nonlinear Phenomena in Power Electronis. New York: IEEE Press, 2001.

13. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific, 2003.

14. Piecewise-Smooth Dynamical Systems: Theory and Applications / M. Di Bernardo, C.J. Budd, A.R. Champneys, P. Kowalczyk. London: Springer-Verlag, 2008.

15. Bifurcations in nonsmooth dynamical systems / M. Di Bernardo, C.J. Budd, P. Kowalczyk, A.B. Nordmark, G.O. Tost, P.T. Piiroinen // SIAM Review. 2008. Vol. 50. P. 629-701. doi: 10.1137/050625060

16. Simpson D.J.W. Border-collision bifurcations in RN // SIAM Review. 2016. Vol. 58. P. 177-226. doi: 10.1137/15M1006982

17. Bifurcations of chaotic attractors in one-dimensional maps / V. Avrutin, L. Gardini, M. Schanz, I. Sushko // Int. J, Bifurcations and Chaos. 2014. Vol. 24. P. 1440012. doi: 10.1137/15M1006982

18. Border collision bifurcation of a resonant closed invariant curve / Zh.T. Zhusubaliyev, V. Avrutin, I., Sushko L. Gardini // Chaos. 2022. Vol. 32. P. 043101. doi: 10.1063/5.0086419

19. Kuznetsov Yu. A. Elements of Applied Bifurcation Theory. New York: Springer-Verlag, 2004.

20. Guckencheimer J., Holms P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag: New York, 2013.

21. Sushko I., Gardini L. Degenerate bifurcations and border collisions in piecewise cmooth 1A and 2D maps // Int. J. Bifurcations and Chaos. 2010. Vol. 20, no. 7. P. 2014-2070. doi: 10.1142/S0218127410026927

22. Continous and Discontinuous Piecewise-Smooth Onr-Dimrnsional Maps: Invariant Sets and Bifurcation Structures. / V. Avrutin, L. Gardini, I. Sushko, F. Tramontana. Simgapore: World Scientific, 2019.

23. Grebogi C., Ott E., Yorke J. A. Chaotic attractors in crisis // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 48. P. 1507-1510. doi: 10.1103/PhysRevLett.48.1507

24. Rasliid M.H. Power Electronics Handbook. Batterworth-Heinmann, 2018.

25. Blaabjery F. Control of Power Electronic Converters and Systems. Academic Press, 2021.

26. Avrutin V., Eckctein E., Schanz M. On detection of multi-band chaotic attractors // Proceedings of Royal Society A. 2007. Vol. 463. P. 1339-1358. doi: 10.1098/rspa.2007.1826