Измерительно-полиномиальная обработка входных данных вычислительной системы

   Цель исследования. Цель данного исследования – построение узлов сетки аппроксимации в измерительно-полиномиальной обработке входных данных вычислительной системы в коэффициентной обратной задаче для алгебраического многочлена, в том числе для уравнения прогибов балки при решении обратной задачи Коши.

   Методы. Основными научными методами, применяемыми в рамках данного исследования, являются методы регуляризации, редукции измерений, линейной лагранжевой аппроксимации, численные методы. Поскольку при выводе явных формул в радикалах корней разрешающих уравнений оптимального плана узлов сетки аппроксимации по теореме Абеля на степень уравнений накладывается ограничение, в данной статье в решении задачи для алгебраического многочлена с предписанным коэффициентом второго младшего члена предложено использовать чебышёвский альтернанс экстремальных полиномов.

   Результаты. Результатом исследования является методика оптимизации сетки аппроксимации в решении коэффициентной задачи алгебраического многочлена, которая минимизирует влияние погрешности входных данных с равномерной непрерывной нормой абсолютной погрешности на точность решения задачи путем минимизации функции Лебега. Также результатом является определение модификации многочленов Чебышёва первого рода, имеющей на замкнутом интервале [–1, 1] свойства: n–1 нулей, n-точечный чебышёвский альтернанс, значение (–1)^n-1 в точке с координатой (‒1). Обосновано предложение о приведении чебышёвского альтернанса к оптимальной сетке аппроксимации при решении коэффициентной задачи алгебраического многочлена. Приведены примеры чебышёвского альтернанса второго – пятого порядка.

   Заключение. В данной статье предложена формализация задачи минимизации влияния погрешности входных данных на точность вычисления коэффициентов алгебраического многочлена в измерительно-вычислительной системе посредством выбора узлов сетки аппроксимации через чебышёвский альтернанс.

1. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N. Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics. Inverse and Ill-Posed Problems Series 52. De Gruyter; Berlin, New York, 2008. 438 p. doi: 10.1515/9783110205794.

2. Ватульян А. О., Плотников Д. К. Обратные коэффициентные задачи в механике // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2019; 3: 37-47. DOI: 10.15593/perm.mech/2019.3.04.

3. Перельмутер А. В. Обратные задачи строительной механики // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2020; 22(4): 83-101. doi: 10.31675/1607-1859-2020-22-4-83-101.

4. Локтионов А. П. Информационно-измерительная система мониторинга балок в строительных конструкциях // Известия Юго-Западного государственного университета. 2021; 25(4): 29-51. doi: 10.21869/2223-1560-2021-25-4-29-51.

5. Кабанихин С.И. Обратные задачи и искусственный интеллект // Успехи кибернетики. 2021; 2(3): 33-43. DOI: 10.51790/2712-9942-2021-2-3-5.

6. Кудрявцев К.Я. Алгоритм построения полинома наилучшего равномерного приближения по экспериментальным данным // Вестник национального исследовательского ядерного университета МИФИ. 2019; 8(5): 480-486. DOI: 10.1134/S2304487X1905002X.

7. Meshchikhin I.A., Gavryushin S.S. The envelope method in the problem of choosing a rational composition of measuring instruments // Measurement Techniques. 2021; 64: 151-155. doi: 10.1007/s11018-021-01910-8.

8. Cheney E.W., Kincaid D.R. Numerical Mathematics and Computing. Thomson Brooks/Cole; Belmont, California, USA, 2013. 765 p. URL: https://hlevkin.com/hlev-kin/60numalgs/Pascal/Numerical%20Mathematics%20and%20Computing.pdf

9. Горелик В. А., Золотова Т. В. Полный метод чебышёвской интерполяции в задаче построения линейной регрессии // Чебышёвcкий сборник. 2022; 23(4): 52-63. doi: 10.22405/2226-8383-2022-23-4-52-63.

10. Moore R., Kearfott R., Cloud M. Introduction to Interval Analysis. Society for Industrial and Applied Mathematics; Philadelphia, USA, 2009. 234 p.

11. Шарый С. П. Конечномерный интервальный анализ. Новосибирск: Издательство «XYZ», 2024. 662 с. URL: http://www.nsc.ru/interval/Library/InteBooks/SharyBook.pdf

12. Boykov I.V., Krivulin N.P. An Approximate Method for Recovering Input Signals of Measurement Transducers // Measurement Techniques. 2022; 64: 943-948. doi: 10.1007/s11018-022-02026-3.

13. Smirnova A., Bakushinsky A. On iteratively regularized predictor-corrector algorithm for parameter identification // Inverse Problems. 2020; 36(12), id.125015: 30 pp. doi: 10.1088/1361-6420/abc530.

14. Ibrahimoglu B.A. Lebesgue functions and Lebesgue constants in polynomial interpolation // Journal of Inequalities and Applications. 2016; 2016(93): 1-15. doi: 10.1186/s13660-016-1030-3.

15. Бернштейн С.Н. Об ограничениях значений многочлена Рn(х) стисни n на всем отрезке по его значениям в n+ 1 точках отрезка // Собр.соч. 2. Конструктивная теория функций. М.: Изд-во АН СССР, 1954. C.107126. URL: https://djvu.online/file/ScPjfDhUujCGo

16. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Берлин: Директ-Медиа, 2021. 850 с. URL: https://archive.org/details/48915verzhbickiyvmosnovychislenny-hmetodov/page/n1/mode/2up

17. Калиткин Н.Н., Колганов С.А. Построение аппроксимаций, удовлетворяющих чебышевскому альтернансу // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2020; 91: 33. doi: 10.20948/prepr-2020-91.

18. Loktionov A. P. Regularization of the lattice time function of the signal in the communication channel // Telecommunications and Radio Engineering. 2013; 72(2): 161-171. doi: 10.1615/TelecomRadEng.v72.i2.70.

19. Локтионов А. П. Чебышёвский альтернанс при аппроксимации начальных условий обратной задачи Коши // Известия Юго-Западного государственного университета. 2021; 25(3): 86-102. do: 10.21869/2223-1560-2021-25-3-86-102.

20. Золотарев Е.И. Приложение эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее и наиболее отклоняющихся от нуля // Золотарев Е.И. Собр. соч. Вып. 2. Л.: Изд-во АН СССР, 1932. С. 1-59. doi: 10.21638/11701/spbu01.2020.101.

21. Прасолов В.В. Многочлены. М: МЦНМО, 2003. 336 с. URL: https://klex.ru/uzw

22. Агафонова И. В., Малоземов В. Н. Экстремальные полиномы, связанные с полиномами Золотарёва // Доклады Академии наук. 2016; 5(467): 255–256. DOI: 10.7868/S0869565216090036.

23. Малоземов В.Н., Тамасян Г.Ш. Этюд на тему полиномиальной фильтровой задачи (n = 3) // Малозёмов В.Н. Избранные лекции по экстремальным задачам. Часть вторая. СПб.: Изд-во ВВМ, 2017. C. 305-315. URL: http://www.apmath.spbu.ru/cnsa/reps15.shtml#0312.

24. Малоземов В.Н. Что даёт информация об альтернансе? // Малозёмов В.Н. Избранные лекции по экстремальным задачам. Часть вторая. СПб.: Изд-во ВВМ, 2017. C. 259-267. URL: http://www.apmath.spbu.ru/cnsa/reps15.shtml#0312.

25. Loktionov A.P. Information measuring system of numerical differentiation for the analysis of elements of mechanical structures // Journal of the Serbian Society for Computational Mechanics. 2018; 12(2): 53-71. doi: 10.24874/jsscm.2018.12.02.04.

26. Агафонова И. В., Малоземов В. Н. Экстремальные полиномы, связанные с полиномами Золотарёва // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020; 65(7): 3-14. DOI: 10.7868/S0869565216090036.

27. Соловьев С. Ю. Об одном классе множителей многочленов Чебышёва // Чебышёвcкий сборник. 2021; 22(4): 241-252. doi: 10.22405/2226-8383-2021-22-4-241-252.

28. Локтионов А.П. Восстановление начальных параметров балки при заданных младших коэффициентах уравнения прогибов // Строительная механика и расчет сооружений. 2022; 6: 2-7. doi: 10.37538/0039-2383.2022.6.2.7.

29. Luzon A. Moron M. A. Recurrence relations for polynomial sequences via Riordan matrices // Linear Algebra Appl.; 2010; 433: 1422-1446. doi: 10.48550/arXiv.0904.2672.

30. Barry P. On the restricted Chebyshev–Boubaker polynomials // Integral Transforms Spec. Funct. 2017; 28: 1-16. doi: 10.48550/arXiv.1702.04001.

31. Локтионов А.П. Обратная задача коши для балок в строительных конструкциях // Строительство и реконструкция. 2022. № 2(100). С. 13-25. doi: 10.33979/2073-7416-2022-100-2-13-25.

32. Локтионов А. П. Модель обработки информации в коэффициентной обратной задаче для алгебраического многочлена // Известия Юго-Западного государственного университета. Серия: Управление, вычислительная техника, информатика. Медицинское приборостроение. 2022; 12(4): 177-191. doi: 10.21869/2223-1536-2022-12-4-177-191.

33. Локтионов А. П., Титенко Е. А. Восстановление коэффициентов алгебраического многочлена с заданным свободным членом // Информационные системы и технологии. 2023; 135(1): 29-37.

34. Локтионов А.П. Обратная задача Коши для стоечно-балочной конструктивной системы // Строительство и реконструкция. 2023; 105(1): 1-15. doi: 10.33979/2073-7416-2023-105-1-3-15.